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Gedanken zur Aufgabenbewältigung in einer Bachelor-Klausur (PC I) :
Grundvoraussetzung:
Vorausgesetzt wird, dass (1) zumindest die Kapitel 11, 12 und 13 im Atkins (deutsch, 2. Auflage) gelesen werden, und dass (2) Sie sich die Bilder anschauen und die Darstellungen verstehen lernen. Damit ist gemeint: wie ändern sich die Kurven oder welcher einfache Zusammenhang besteht im Verhaltensmuster verschiedener, gleichzeitg präsentierter Kurven?
Mathematische Beziehungen, notwendig zum Verständnis von Ergebnissen, graphischen Darstellungen und Gleichungen in der Quantenmechanik ("nur diese" Theorie "erklärt" das Experiment richtig):
a) Vektoren, Matrizen, Funktionen, Differenzieren, Integrieren, komplexe Zahlen (Funktionen), Koordinatensysteme (dazugehöriges Volumenelement), lineares Gleichungssystem, Diagonalisierung einer Matrix, Transformation (Abbildung), Dimensionalität
Die wichtigsten Beziehungen wurden explizit in den Übungen untersucht, in jedem Fall in der Vorlesung erläutert (einfache Zusammenhänge sollten aus der Schul-Mathematik bzw. Mathematik für Chemiker bekannt sein). Wenn Sie die Übungslösungen nur abschreiben und Sie sich selbst dazu nichts überlegen (man muss am Anfang schon Zeit dafür investieren), wird eine Lösung der Aufgaben in der Bachelor-Klausur mit großen Schwierigkeiten verbunden sein. Diese "Ergänzung" zur Ihnen bisher bekannten Mathematik stellt das A und O für alle folgenden Vorlesungen mit physikalisch-chemischen und theoretisch-chemischen Inhalten dar.
Über die formale Mathematik hinausgehende Konzepte:
b) Begriffe: Operator, Wellenfunktion, Eigenfunktion, Eigenwert, Erwartungswert (Mittelwert), Normierung (normiert), Orthogonalisierung (orthogonal, Kronecker-Delta), Unschärfe (nach Heisenberg; Statistik: Varianz, Standardabweichung), Kommutator, hermitesch, reelle und komplexe Eigenwerte und Eigenfunktionen, Dichte, Wahrscheinlichkeits-Dichte
c) Handhaben von Einheiten:
Benutzen von sogenannten atomaren Einheiten erleichtert wirklich das Handhaben von Formeln.
in atomaren Einheiten: viele Größen sind "auf den Wert 1 (Eins) definiert": Einheitsladung (Elektron), Masse des Elektrons, Planksches Wirkungsquantum geteilt durch 2 Pi, usw.
d) explizites Wissen von relativ wenigen Formeln:
Definition der Operatoren für Ort und Impuls: wie ergeben sich daraus die Formeln für kinetische Energie und potentielle Energie (alles in kartesischen Koordinaten) ?
Zusammenhang: totale Energie = kinetische Energie + potentielle Energie
Teilchen im Kasten: 1) Was ist das? Wo wird das Modell benötigt? Wie sehen die Wellenfunktionen aus? Braucht man Sinus oder Cosinus? Sind die "maximalen Amplituden" überall gleich groß? Wie sieht die Wahrscheinlichkeits-Dichte aus (welches Vorzeichen) ? Knotenmuster in der Wellenfunktion? Wie hängt die Energie von Masse, Länge und Quantenzahl ab?
Diese Überlegungen gelten auch für:
1) Teilchen im zwei-dimensionalen oder mehr-dimensionalen Kasten
2) Harmonischer Oszillator
3) Teilchen im Ring (2D-Rotator)
4) 3D-Rotator
5) Wechselspiel: Elektron und Atomkern, Elektron und Elektron
e) Atomtheorie:
Begriffe: Orbitalenergie, Orbital (Aussehen, Vorzeichen, Entartung), Drehimpuls, Spin, Pauli-Prinzip, Aufbauprinzip, Periodensystem
weitere Begriffe: Hauptquantenzahl, Nebenquantenzahl, magnetische Quantenzahl. Zusammenhang zur Gesamtenergie, Bahndrehimpuls, Spin und Projektionen auf eine Achse (Vektormodell)
Zusammenhänge: Welche Auswirkungen hat das Pauli-Prinzip auf die Wellenfunktion? Wie sehen die Wellenfunktionen formal aus, wenn Sie einen Triplett- oder Singulett-Zustand für zwei Elektronen beschreiben sollen?
Wie unterscheiden sich im Knotenmuster solche Orbitale, die zu einer anderen Hauptquantenzahl gehören?
Wie ist das radiale Verhalten der Orbitale bei kleinen bzw. großen Abständen des Elektrons vom Atomkern? Wie unterscheiden sich hierbei s-. p-, d-, und f-artige Orbitale?
Wie zeichne ich Orbitale als radiale Wellenfunktion oder in Form der radialen Dichte? Wo sind die Maxima: innen oder außen? Wieviel Knoten?
Wie zeichne ich ein Orbital in Form eines Konturlinienbildes (Schnitt durch eine 3D-Darstellung; versuchen Sie Wetterkarten zu interpretieren).
Auf was muss man in Zeichnungen/Graphiken achten: richtige Achsenbeschriftung, korrekte Größenverhältnisse, Vorzeichen
Wenn Sie einige dieser Kommentare beherzigen, sind Sie einen großen Schritt weiter bzgl. der Lösung der Aufgaben in den kommenden Bachelor-Klausuren. Viel Glück !
Grafiken: Systematische Zusammenstellung der Atomorbitale bis n=10, David Manthey.